ЕЩЁ ОДНО СВОЙСТВО СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Наука и Жизнь 1981 №10

Каждый из нас чем-либо да увлекается. Одни коллекционируют марки, камни, спичечные коробки; другие столярничают или разводят цветы, третьи ломают голову над шахматными этюдами. А автор этих строк забавляется числами, преимущественно натуральными. Увлечению этому без малого полвека, а оно не слабеет, по-прежнему доставляет радость, приводит к неожиданным находкам. Получат ли эти находки практическое применение? Такие случаи у меня бывали. Будут ли дальше? Не знаю. Бенджамин Франклин на этот вопрос отвечает так: «А какое применение у новорожденного?» В самом деле, какое? Это покажет время. А пока расскажем об одной такой забаве, оканчивающейся довольно любопытно. И начнем издалека.

Возьмём любое многозначное натуральное число, вычислим сумму его цифр, потом вновь сложим цифры полученной суммы и будем повторять это до тех пор, пока не придем к однозначному числу. Его-то и назовём конечной суммой цифр заданного числа, а для краткости обозначим КСЦ.

Например, КСЦ числа 27816365 равна 2, так как 2+7+8+1+6+3+6+5=38, далее 3+8=11, наконец, 1+1=2.

Всякое натуральное число при делении на 9 даст в остатке КСЦ делимого. Если же число делится на 9 нацело, то, естественно, остаток равен нулю.

Пусть задано натуральное число:

10n*a+10n-1*b+10n-2*c+...+10p+r.

Представим его в таком виде:

(10-1)n*а+(10-1)n-1*b+(10-1)n-2*c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+p+r.

Ясно, что слагаемые, содержащие множители вида (10-1)k, кратны девяти. Следующую за ними сумму цифр заданного числа (a+b+c...+p+r) также представим в виде:

(10-1)m*a1+(10-1)m-1*b1+(10-1)m-2*c1+...(10-1)*p1+a1+b1+c1+...+p1+r1    (1)

Новая сумма цифр (a1+b1+c1+...+p1+r1) уже меньше предыдущей. Продолжая этот процесс, мы непременно придём к остатку, который окажется числом однозначным, иначе говоря,- к КСЦ заданного числа.

Рассмотрим то же на вышепривдённом примере:

27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.

Далее, полученную в конце сумму цифр (38) можно представить так: 10*3+8=(10-1)*3+3+8. Наконец, 3+8 - это 10+1=(10-1)+1+1. После деления заданного числа на 9 получаем его КСЦ = 2.

Поэтому для вычисления КСЦ не обязательно складывать все цифры. Достаточно отбросить в числе все девятки: 2+7; 8+1; 6+3, а в оставшихся цифрах 6 и 5 остается отбросить 6+3. В результате получим КСЦ = 2.

Из этого следует, что разность между заданным числом (А) и его КСЦ всегда кратна девяти. Принято говорить, что А сравнимо с его КСЦ по модулю 9, а записывается это так:

А = КСЦ (mod 9),    (1)

(здесь три чёрточки - знак сравнения).

Расположим теперь все натуральные числа в таблицу 1 так, чтобы в каждой строке их КСЦ была постоянна и равна крайнему левому числу строки.

1 10 19 28 37 46 55 64 73 ...
2 11 20 29 38 47 56 65 74 ...
3 12 21 30 39 48 57 66 75 ...
4 13 22 31 40 49 58 67 76 ...
5 14 23 32 41 50 59 68 77 ...
6 15 24 33 42 51 60 69 78 ...
7 16 25 34 43 52 61 70 79 ...
8 17 26 35 44 53 62 71 80 ...
9 18 27 36 45 54 63 72 81 ...

Таблица 1

Если обозначить числа первого столбца через ai (i=1..9) то любое число в i-й строке (Аi) запишется так:

Ai = ai (mod 9).    (2)

Сравнения можно складывать (а следовательно, и перемножать и возводить в степень) как обычные равенства:

A1 = a1 ( mod 9)
+
A2 = a2 ( mod 9)

A1+A2 = (a1+a2) ( mod 9)    (3)

Докажем это. Из (3) следует, что

(A1-a1)/9=B1 , и (A2-a2)/9=B2

где B1 и В2 - числа натуральные. Значит, и сумма их также число натуральное. Отсюда и вытекает результат в равенстве (3).

Доказательства для произведения и степени вы легко найдете сами.

А вот примеры:

а)

21 = 3 (mod 9)
+
32 = 5 (mod 9)
=
53 = 8 (mod 9),


б)

21*32 = 15 (mod 9),
иначе
21*32 = 6 (mod 9).

Следовательно, для того, чтобы выяснить, в какой строке таблицы 1 помещается сумма (произведение, степень) натуральных чисел, достаточно сложить (перемножить, возвести в степень) их КСЦ.

Составим ещё таблицу (2) степеней, начиная с квадратов первых девяти натуральных чисел, а в скобках запишем их КСЦ.

Из таблицы 2 видно, что КСЦ в любой строке повторяется через каждые 6 степеней. Поэтому достаточно рассмотреть степени со второй по седьмую.

12=1 (1) 13=1 (1) 14=1 (1) 15=1 (1) 16=1 (1) 17=1 (1) 18=1 (1)
22=4 (4) 23=8 (8) 24=16 (7) 25=32 (5) 26=64 (1) 27=128 (2) 28=256 (4)
32=9 (9) 33=27 (9) 34=81 (9 35=243 (9) 36=729 (9) 37=2187 (9 38=6561 (9)
42=16 (7) 43=64 (1) 44=256 (4) 45=1024 (7) 46=4096 (1) 47=16384 (4) 48=65536 (7)
52=25 (7) 53=125 (8) 54=625 (4) 55=3125 (2) 56=15625 (1) 57=78125 (5) 58=390625 (7)
62=36 (9) 63=216 (9) 64=1296 (9) 65=7776 (9) 66=46656 (1) 67=279936 (9) 68=1679616 (9)
72=49 (4) 73=343 (1) 74=2401 (7) 75=16807 (4) 76=117649 (1) 77=423543 (7) 78=5764801 (4)
82=64 (1) 83=512 (8) 84=4096 (1) 85=32762 (8) 86=262144 (1) 87=2097152 (8) 88=16777216 (1)
92=81 (1) 93=729 (9) 94=6561 (9) 95=59049 (9) 96=531441 (9) 97=4782969 (9) 98=43046721 (9)

Таблица 2

Много любопытного обнаруживается при сопоставлении первой и второй таблиц. Например: не существует степеней (кроме первой), для которых КСЦ равнялась бы трём или шести. КСЦ для шестых степеней равно только единице или девятке, а для третьих степеней - ещё и восьмерке. Для вторых и четвертых степеней КСЦ имеют одни и те же значения - 1, 4, 7, 9,- но четвёрки и семёрки у них поменялись местами.

Или вот ещё: КСЦ=2 встречается только дважды - у 55 и у 27, а КСЦ=5 - также в двух случаях,- у 25 и 57. Основания степеней в обоих случаях одинаковы, а показатели их поменялись местами.

Много чего можно отыскать в этих таблицах. Однако все это присказка, сказка впереди.

Немало времени прошло, пока не обнаружилось новое и, на мой взгляд, замечательное свойство таблицы 1. Оказалось, что все чётные совершенные числа (исключая шестёрки) располагаются только в ее первой строке. (Напомню: совершенными называются числа, равные сумме всех своих младших делителей). Иначе говоря, все (кроме первого) чётные совершенные числа (S) сравнимы с единицей по модулю 9:

S=1 (mod 9) (4)

Совершенные числа, о которых идет речь (а других мы не знаем), вычисляются по формуле Евклида:

S=2p-1(2p-1)    (5)

где и p, и (2p-1) должны быть числами простыми. (Простыми называются числа, делящиеся только на себя и на единицу.)

Итак, перейдём к доказательству. Понятно, что число p, как всякое простое (кроме двойки), нечётно. Из таблицы 2 видно, что нечётный показатель степени у двойки может быть либо 3, либо 5, либо 7. При этом КСЦ этих степеней соответственно равны 8, 5 и 2. В таком случае КСЦ у (2p-1) равны 7, 4 и 1. Что касается показателя степени у первого множителя в (5), то есть p-1, то он равен либо 2, либо 4, либо 6, а КСЦ этих степеней 2p-1 равны соответственно 4, 7 и 1.

Остается перемножить КСЦ обоих сомножителей уравнения (5): 7*4; 4*7; 1*1, что даёт 28, 28 и 1. КСЦ всех этих трёх произведений равна 1. Что и требовалось доказать!

Так как мы не ставили никаких ограничений ни для множителя (2p-1), ни для показателя p (кроме того, что он должен быть нечётным), то не только совершенные, но и все числа с нечётным p, вычисленные по формуле (5), расположены только в первой строке таблицы 1.

Не правда ли, любопытное свойство формулы Евклида?

Насколько мне известно, число приверженцев рубрики «Математические досуги», ведущейся в журнале вот уже почти 20 лет, не уменьшается, и среди них много таких читателей, кого интересуют забавы с числами. Тем же, кто ещё к этому не приобщился, советуем: играйте с числами! Не пожалеете!

В. ЛЁВШИН.

BACKHOME